Математический анализ

Предел описывает значение, к которому приближаются члены последовательности или значения функции при заданном изменении аргумента. Он не требует, чтобы функция была определена в предельной точке: например, предел может существовать в устранимом разрыве.

Для доказательств используют точные условия близости, а для вычислений — правила пределов, справедливые при выполнении нужных предпосылок. Пределы лежат в основе определения непрерывности, производной и интеграла, но сами по себе не означают, что функция достигает предельного значения.

Производная функции характеризует её мгновенное изменение при изменении аргумента. Геометрически она связана с наклоном касательной, а в модели движения может описывать скорость изменения положения.

Существование производной зависит от функции и точки; правило вычисления не заменяет проверку условий.

Интеграл описывает суммирование непрерывно меняющейся величины. Определённый интеграл связан с пределом сумм; неопределённый описывает семейство первообразных.

Методы и приложения зависят от задачи. Численное интегрирование даёт приближение, когда точное вычисление недоступно или нецелесообразно.

Ряд — бесконечная сумма членов последовательности; он определён и в случае, когда не сходится. Для исследования ряда строят конечные частичные суммы.

Ряд сходится, если последовательность частичных сумм имеет конечный предел; только в этом случае этот предел называют суммой ряда. Если предела нет, ряд расходится, а обычная сумма не определена. Проверки отдельных членов или конечного числа частичных сумм сами по себе не устанавливают сходимость.

Дифференциальное уравнение задаёт связь между неизвестной функцией и её производными. Оно возникает, когда закон процесса описывает не только состояние системы, но и скорость или пространственный профиль его изменения.

Область включает обыкновенные уравнения, где функция зависит от одной переменной, и уравнения в частных производных для нескольких переменных. Изучают постановку задачи, существование и поведение решений, а также связь математической модели с измеряемым явлением.

Теория меры задаёт строгий способ приписывать множествам размер, обобщая длину, площадь и объём на более широкий класс объектов. Мера определяется на системе измеримых множеств и должна согласованно вести себя при счётных объединениях непересекающихся частей.

Это основание интеграла Лебега, где функция анализируется через множества значений, а не только разбиение области на малые интервалы. Теория меры позволяет формулировать более сильные теоремы о предельных переходах и связывает анализ с вероятностью и пространствами функций.

Комплексный анализ — раздел математики о функциях комплексного переменного. Он изучает аналитичность, комплексную производную и связь функции с интегралами.

Теоремы Коши, разложения в ряды и вычеты позволяют исследовать особенности функции и вычислять интегралы. Эти методы используются также в математической физике.

Функциональный анализ изучает пространства функций и операторы на них. Норма описывает величину элемента, а полнота пространства — поведение сходящихся последовательностей.

Банаховы и гильбертовы пространства дают разные структуры для таких задач. Операторы связывают функции между собой; многие рассматриваемые пространства бесконечномерны.