Теория вероятностей
Теория вероятностей описывает случайные исходы и закономерности их распределений. Она задаёт события и меру их вероятности в модели эксперимента.
Случайные величины и распределения позволяют изучать средние, разброс и предельное поведение. Статистический вывод использует вероятностные модели, но не тождественен самой теории.
Теория вероятностей
Основы теории вероятностей
Вероятность события: P(A) ∈ [0, 1]. Аксиомы Колмогорова (1933). Классическое определение: P = благоприятные/все исходы. Условная вероятность: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Независимость: P(A∩B) = P(A)·P(B). Формула полной вероятности. Теорема Байеса: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B).
Случайные величины
Дискретные: конечное/счётное множество значений. Непрерывные: вещественные значения. Функция распределения F(x) = P(X ≤ x). Плотность f(x) = F'(x). Математическое ожидание E[X]: среднее значение. Дисперсия Var[X] = E[(X - E[X])²]: разброс. σ = √Var — стандартное отклонение.
Распределения
Стандартные распределения. Дискретные: Бернулли (0/1), биномиальное (n испытаний), Пуассона (редкие события). Непрерывные: равномерное, экспоненциальное (время ожидания), нормальное (Гаусса). Центральная предельная теорема: сумма → нормальное. Z-score: (X - μ)/σ.
Центральная предельная теорема
Среднее n независимых величин стремится к нормальному распределению при n→∞, независимо от исходного. Доказана Ляпуновым (1901). Работает уже при n≥30.