Алгебра

Линейная алгебра изучает векторы, пространства, матрицы и линейные преобразования. Она описывает системы линейных уравнений. Собственный вектор при преобразовании остаётся на той же прямой: собственное значение задаёт множитель, который может также изменить направление вектора или обнулить его.

Многочлен — выражение из конечной суммы степенных членов с коэффициентами. Теория многочленов изучает операции, корни и разложение на множители; способы решения зависят от степени и вида уравнения.

Система уравнений задаёт несколько условий для одних и тех же неизвестных; её решение должно одновременно удовлетворять каждому уравнению. Для линейной системы графически это общие точки прямых и плоскостей, а в вычислениях часто используют исключение переменных или матричную запись с методом Гаусса. Возможны единственное решение, бесконечно много решений или отсутствие решений. Нелинейные системы требуют иных методов, поэтому эти способы нельзя переносить на любую систему без проверки её вида.

Абстрактная алгебра изучает множества с заданными операциями через общие свойства этих операций. Вместо отдельных вычислений она рассматривает структуры вроде групп, колец и полей, а также отображения, сохраняющие их устройство.

Такой взгляд помогает увидеть, почему похожие законы работают для симметрий, чисел, многочленов и матриц. Раздел связывает конкретные алгебраические задачи с общими понятиями подструктуры, обратимого элемента и гомоморфизма.