Как вычисляют приближённые решения математических задач
Численная математика разрабатывает и анализирует алгоритмы приближённого решения математических задач. Она оценивает ошибки, сходимость и вычислительные затраты, учитывая ограниченную точность машинной арифметики. К её методам относятся численное интегрирование, интерполяция и решение уравнений.
Численная математика
Обусловленность задачи
Обусловленность характеризует чувствительность решения математической задачи к малым изменениям исходных данных. Плохо обусловленная задача может сильно усиливать возмущения даже при хорошем алгоритме; число обусловленности количественно описывает такую чувствительность в выбранной постановке.
Численная устойчивость
Численная устойчивость описывает, как алгоритм переносит ошибки округления и другие малые возмущения вычислений. При анализе сравнивают ошибку ответа и эквивалентное изменение исходных данных; устойчивый алгоритм не устраняет чувствительность самой плохо обусловленной задачи.
Интерполяция функций
Интерполяция строит функцию, совпадающую с заданными значениями в выбранных узлах. Между узлами используют, например, многочлены или кусочные полиномы; поведение приближения и величина ошибки зависят от исходной функции, расположения узлов и выбранного метода.
Численное интегрирование
Когда аналитический интеграл невозможен: метод прямоугольников, трапеций, Симпсона. Квадратуры Гаусса для высокой точности. Используется в физике, инженерии.