Ряды
Ряд — бесконечная сумма членов последовательности; он определён и в случае, когда не сходится. Для исследования ряда строят конечные частичные суммы.
Ряд сходится, если последовательность частичных сумм имеет конечный предел; только в этом случае этот предел называют суммой ряда. Если предела нет, ряд расходится, а обычная сумма не определена. Проверки отдельных членов или конечного числа частичных сумм сами по себе не устанавливают сходимость.
Числовые ряды
Сумма бесконечной последовательности Σaₙ. Сходимость: частичные суммы имеют предел. Критерий Коши, признаки сходимости.
Признаки сходимости
Сравнение, Даламбера (lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1), Коши (lim ⁿ√|aₙ| < 1), интегральный признак, признак Лейбница.
Степенные ряды
Ряд Σcₙ(x-a)ⁿ. Радиус сходимости R, интервал сходимости. Разложение функций в ряд Тейлора.
Ряд Фурье
Представление периодической функции суммой синусов и косинусов: f(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx)). Коэффициенты Фурье.
Ряды Фурье
Разложение периодической функции в сумму синусов и косинусов (1807, Жозеф Фурье). Основа обработки сигналов, сжатия (MP3, JPEG), спектрального анализа.
Признаки сходимости рядов
Сравнение, отношение (Даламбера), корень (Коши), интегральный признак. Абсолютная vs условная сходимость. Ряд Лейбница для знакочередующихся.