Производные
Производная функции характеризует её мгновенное изменение при изменении аргумента. Геометрически она связана с наклоном касательной, а в модели движения может описывать скорость изменения положения.
Существование производной зависит от функции и точки; правило вычисления не заменяет проверку условий.
Производные
Определение производной
f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx при Δx→0. Геометрический смысл — угловой коэффициент касательной.
Правила дифференцирования
Сумма: (f+g)' = f'+g'. Произведение: (fg)' = f'g + fg'. Частное: (f/g)' = (f'g - fg')/g². Сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
Приложение производных
Исследование функций: экстремумы (f'=0), монотонность (знак f'), выпуклость (знак f''), асимптоты. Задачи оптимизации.
Производные высших порядков
Вторая производная f'' — производная от f'. Физический смысл — ускорение. Формула Тейлора, ряд Маклорена.
Применение производных
Практические задачи дифференциального исчисления. Экстремумы: f'(x) = 0, вторая производная. Монотонность: f' > 0 ↔ возрастание. Выпуклость: f'' > 0 ↔ выпукла вниз. Касательная: y = f(a) + f'(a)(x - a). Правило Лопиталя: пределы 0/0, ∞/∞. Задачи на оптимизацию.
Частные производные
Производная функции многих переменных по одной переменной. Градиент — вектор частных производных, направление наибыстрейшего роста. Основа оптимизации, ML.
Приложения производных
Скорость изменения, касательная к графику. Экстремумы: f′(x)=0. Оптимизация в экономике, физике. Правило Лопиталя для пределов. Ряды Тейлора.