Интегралы
Интеграл описывает суммирование непрерывно меняющейся величины. Определённый интеграл связан с пределом сумм; неопределённый описывает семейство первообразных.
Методы и приложения зависят от задачи. Численное интегрирование даёт приближение, когда точное вычисление недоступно или нецелесообразно.
Неопределённый интеграл
Множество первообразных функции: ∫f(x)dx = F(x) + C, где F'(x) = f(x). Таблица интегралов, свойства линейности.
Определённый интеграл
Определённый интеграл описывает накопленную величину как предел интегральных сумм при выполнении условий существования. Для функции на отрезке его геометрический смысл — знаковая площадь; формула Ньютона—Лейбница применяется при соответствующих условиях на функцию и первообразную.
Методы интегрирования
Замена переменной: ∫f(g(x))g'(x)dx. По частям: ∫udv = uv - ∫vdu. Интегрирование рациональных дробей.
Приложения интегралов
Площадь фигуры, объём тела вращения, длина дуги, работа силы, центр масс. Несобственные интегралы.
Численное интегрирование
Когда аналитический интеграл невозможен: метод прямоугольников, трапеций, Симпсона. Квадратуры Гаусса для высокой точности. Используется в физике, инженерии.