Теория меры
Теория меры задаёт строгий способ приписывать множествам размер, обобщая длину, площадь и объём на более широкий класс объектов. Мера определяется на системе измеримых множеств и должна согласованно вести себя при счётных объединениях непересекающихся частей.
Это основание интеграла Лебега, где функция анализируется через множества значений, а не только разбиение области на малые интервалы. Теория меры позволяет формулировать более сильные теоремы о предельных переходах и связывает анализ с вероятностью и пространствами функций.
Теория меры
Интеграл Лебега
Интеграл Лебега определяет интегрирование через меру множеств, на которых функция принимает заданные значения. В отличие от интуиции интеграла Римана как сумм по отрезкам области, этот подход лучше приспособлен к разрывным функциям и пределам последовательностей функций.
Теоремы монотонной и доминированной сходимости задают условия, при которых интегрирование можно согласовать с предельным переходом. При этом на функциях, интегрируемых по Риману, оба определения дают одинаковый результат; более широкая конструкция особенно важна для функционального анализа и вероятности.