Пределы
Предел описывает значение, к которому приближаются члены последовательности или значения функции при заданном изменении аргумента. Он не требует, чтобы функция была определена в предельной точке: например, предел может существовать в устранимом разрыве.
Для доказательств используют точные условия близости, а для вычислений — правила пределов, справедливые при выполнении нужных предпосылок. Пределы лежат в основе определения непрерывности, производной и интеграла, но сами по себе не означают, что функция достигает предельного значения.
Предел последовательности
Число a — предел {aₙ}, если для любого ε > 0 найдётся N: при n > N выполняется |aₙ - a| < ε. Сходимость, ограниченность.
Предел функции
lim f(x) при x→a: для любого ε > 0 существует δ > 0, что |x-a| < δ влечёт |f(x)-L| < ε. Односторонние пределы.
Замечательные пределы
Первый: lim(sin x / x) = 1 при x→0. Второй: lim(1 + 1/n)^n = e при n→∞. Применение к вычислению пределов.
Непрерывность функции
Функция непрерывна в точке a, если lim f(x) = f(a) при x→a. Точки разрыва, классификация разрывов.