Топология множеств
Свойства пространств, сохраняющиеся при непрерывных деформациях. Открытые и замкнутые множества, связность.
Топология множеств
Открытые и замкнутые множества
Открытое множество содержит окрестность каждой своей точки. Замкнутое — дополнение открытого. Примеры: (a,b) открыто, [a,b] замкнуто.
Связность
Топологическое пространство связно, если его нельзя разбить на два непустых открытых множества. Линейная связность, компоненты связности.
Компактность
Множество компактно, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Теорема Гейне-Бореля.
Гомеоморфизмы
Непрерывная биекция с непрерывной обратной. Топологическая эквивалентность фигур: кружка ≅ тор, сфера ≇ тор.
Метрические пространства
Множество X с метрикой d(x,y): расстояние между точками. Аксиомы: 1) d(x,y) ≥ 0, 2) d(x,y) = 0 ⟺ x=y, 3) симметрия d(x,y)=d(y,x), 4) неравенство треугольника d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z). Примеры: евклидова (ℝⁿ), дискретная (0 или 1), манхэттенская (|x₁-y₁|+|x₂-y₂|). Открытые шары: B(x,r) = {y: d(x,y)<r}. Сходимость последовательностей.