Теория множеств
Теория множеств изучает множества, отношения и операции над ними. В аксиоматических вариантах правила задают, какие множества допускаются и какие рассуждения корректны; теория служит одним из оснований современной математики.
Теория множеств
Операции над множествами
Объединение (A∪B), пересечение (A∩B), разность (A\B), симметрическая разность (AΔB), дополнение. Законы де Моргана.
Отношения и функции
Отношение — подмножество A×B. Свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Функция — однозначное отношение.
Мощность множеств
Счётные (равномощны N) и несчётные множества. Теорема Кантора: |P(A)| > |A|. Континуум-гипотеза.
Аксиоматика
Система Цермело-Френкеля (ZFC): аксиомы существования, пары, объединения, бесконечности, подмножества, выбора.
Мощность и счётность
Мощность: «количество элементов». Конечные множества: |A| = n. Бесконечные: счётные (ℵ₀) и несчётные. Счётные: ℕ, ℤ, ℚ — биекция с ℕ. Несчётные: ℝ (диагональный метод Кантора). Континуум: мощность ℝ. Гипотеза континуума: нет промежуточных мощностей. Парадокс Кантора: нет «множества всех множеств».
Мощность множества
Число элементов. Конечные множества — натуральные числа. Бесконечные: счётные (ℵ₀: N, Z, Q) и несчётные (континуум: R). Теорема Кантора о диагонализации.